Site consacré à la quantification optimale (vectorielle et fonctionnelle),
(aspects numériques, algorithmiques, applications à la Finance...)

Site de l'ACI Nouvelles Interactions des mathématiques (2004-2007) FIN'QUANT (Quantification optimale pour la Finance).

Responsables du site :
-Gilles Pagès (LPMA-Université Paris 6, UMR 7599), page personnelle de Gilles Pagès
-Jacques Printems (CMP12-Université Paris 12, UMR 8050), page personnelle de Jacques Printems

Prochains événements :

• Symposium on Quantization Methods and Applications to Mathematical Finance

  Paris, 1-2 septembre 2008
  Inscriptions avant le 10 juillet 2008, Register before July, 10th, 2008.

Introduction :

Quantification optimale et probabilités numériques

La quantification vectorielle a été initialement développée au lendemain de la seconde guerre mondiale dans le but d'optimiser les conditions de transmission de signaux stationnaires en les discrétisant - en les quantifiant donc - de façon optimale.
Une large part de ces recherches a été développée au sein des Bell Laboratories aux Etats-Unis sous le nom de quantification vectorielle (vector quantization). Longtemps domaine réservé des spécialistes de la théorie du signal et de l'information, la quantification optimale suscite depuis le milieu des années 1990 l'intérêt de plusieurs équipes de probabilistes en France (LPMA-UMR 7599 Univ. Paris 6&7, LAMA-UMR 8050 Univ. MlV-Paris 12) et en Allemagne (Univ. Trier, Univ. Berlin) notamment.
Les méthodes de quantification trouvent aujourd'hui toute leur place au sein des probabilités numériques, en particulier pour la résolution de problèmes issus de Finance de marchés comme :

• le pricing d'options américaines sur multi-sous-jacents,

• l'estimation de la volatilité par filtrage dans les modèles à volatilité stochastique,

• le pricing d'options exotiques (options asiatiques B&S, Heston, SABR,...) et de dérivés de taux (modèles CIR,...) à l'aide de formules dites de « cubatures ».

Le développement de recherches dans le domaine de la quantification vectorielle (signaux de dimension finie) se poursuit aujourd'hui essentiellement en lien avec les applications en traitement du signal et en probabilités numériques.
L'explosion des capacités de calcul intensif dans les dernières décennies est à la fois un outil et un moteur de ce développement. Parallèlement, un nouveau domaine émerge depuis une dizaine d'années sous le nom de « quantification fonctionnelle ». Il s'agit d'étendre les concepts de quantification à la dimension infinie. Du point de vue des applications, il s'agit de discrétiser de façon optimale l'espace des trajectoires d'un processus stochastique c'est-à-dire d'un phénomène aléatoire dynamique. L'archétype d'un tel processus est le mouvement brownien. Ces travaux récents sont à la base des méthodes de pricing d'options ayant des payoffs trajectoires dépendants évoqués ci-dessous.

Exemples de calcul d'options :

• Options asiatiques dans un modèle de Heston.

Données à télécharger :

• Quantification optimale de la loi normale.

• Quantification fonctionnelle produit du mouvement Brownien.

• Quantification fonctionnelle OPTIMALE du mouvement Brownien.

Quelques lectures introductives :

• Introduction à la quantification optimale finidimensionnelle, A. Sellami (LPMA-Université Paris 6, UMR 7599).

• Options Américaines multi sous-jacents : quelques méthodes numériques, Gilles Pagès, Juin 2006.

Quelques travaux récents :

Quantification vectorielle

• A space vector quantization method for numerical integration, G. Pagès, J. Computational and Applied Mathematics, 89, 1-38, (1998).

• Quantization of probability distributions under norm-based distortion measures, Sylvain Delattre, Siegfried Graf, H. Luschgy et G. Pagès, Statistics & Decision, 22, 261-282, (2004).

• Sharp asymptotics of the Kolmogorov entropy for Gaussian measures, Harald Luschgy et Gilles Pagès, Journal of Functional Analysis, 212, 89-120, (2004).

• Local distortion and µ-mass of the cells of one dimensional asymptotically optimal quantizers, S. Delattre, J.C. Fort et G. Pagès, Comm. Statist. Theory Methods,  33(5), 1087-1117, (2004).

• Asymptotics of optimal quantizers for some scalar distributions, Jean Claude Fort et G. Pagès, J. Computational & Applied Mathematics,146, n°2, 253-275, (2002).

Quantification fonctionnelle

• Functional quantization of Gaussian processes, H. Luschgy et G. Pagès,  Journal of Functional Analysis, 196(2), 486-531, (2002).

• Sharp asymptotics of the functional quantization problem for Gaussian processes, H. Luschgy et G. Pagès, The Annals of Probability,32(2), 1574-1599, (2004).

• Functional quantization and small balls probabilities for Gaussian processes, S. Graf, H. Luschgy et G. Pagès, Journal of Theoretical Probability, 16(4) 1047-1062, (2003).

• High-resolution product quantization for Gaussian processes under sup-norm distortion, Harald Luschgy et Gilles Pagès, pré-pub LPMA, (2005).

• Optimal quantizers for Radon random vectors in a Banach space, Siegfried Graf, Harald Luschgy et Gilles Pagès, J. of Approximations 144, 27-53 (2007).

• Functional quantization of a class of Brownian diffusions: A constructive approach,  H. Luschgy et G. Pagès, Stochastic Processes and Applications 116(2),  310-336, (2006).

Quantifications optimales ou optimisées

• Optimal quadratic quantization for numerics: the Gaussian case, Gilles Pagès, Jacques Printems, Monte Carlo Methods and Appl. 9(2), 135-165 (2003).

• Functional quantization for numerics with an application to option pricing, Gilles Pagès, Jacques Printems, Monte Carlo Methods and Appl. 11(4), 407-446 (2005).

• Optimal Quantization : Evolutionary Algorithm vs Stochastic Gradient, Moez Mrad,  Sana Ben Hamida, Proceedings of the 9th Joint Conference on Information Sciences, Ed. Cheng, H.D., Chen, S.D., Lin, R.Y., Atlantic Press, 2006. doi:10.2991/jcis.2006.161

Quantification vectorielle : applications numériques à la Finance

• A quantization algorithm for solving discrete time multidimensional optimal stopping problems, Vlad Bally, Gilles Pagès, Bernoulli, 9(6), 1003-1049, 2003.

• Error analysis of the quantization algorithm for obstacle problems, Vlad Bally, Gilles Pagès, Stochastic Processes & Their Applications, 106(1), 1-40, 2003.

• A Stochastic quantization method for nonlinear problems, Vlad Bally, Gilles Pagès et Jacques Printems, Monte Carlo Methods and Appl.  7(1), 21-34 (2001).

• A quantization tree method for pricing and hedging multidimensional American options Vlad Bally, Gilles Pagès, Jacques Printems, Mathematical Finance 15(1), 119-168 (2005).

• First order schemes in the numerical quantization method, Vlad Bally, Gilles Pagès, Jacques Printems, Mathematical Finance 13(1), 1-16 (2003).

• Discretization and simulation for a class of SPDEs with applications to Zakai and McKean-Vlasov equations, Emmanuel Gobet, Gilles Pagès, Huyen Pham, Jacques Printems, soumis pour publication.

• An Optimal Markovian Quantization Algorithm for Multidimensional Stochastic Control Problems, G. Pagès, H. Pham, J. Printems, Stochastics and Dynamics 4(4), 501-545 (2004).

• Approximation by quantization of the filter process and applications to optimal stopping problems under partial observation, H. Pham, Wolfgang Runggaldier et Afef Sellami, Monte Carlo methods and Applications, Volume 11, No.1, pp. 57-81, (2005).

• Méthodes de quantification optimale pour le filtrage et applications à la finance, Afef Sellami, Thèse de Doctorat en Mathématiques Appliquées, Université Paris Dauphine (2005).

Quantification fonctionnelle appliquée à la Finance

• Functional quantization for numerics with an application to option pricing, Gilles Pagès, Jacques Printems, Monte Carlo Methods and Appl. 11(4), 407-446 (2005).

• Pricing path-dependent options using optimized functional quantization, Gilles Pagès, Jacques Printems, transparents de la communication donnée à la conférence AMAMEF 2006, Numerical Methods in Finance, INRIA Rocquencourt, 1-3 février 2006.

Remerciements

Cette page doit beaucoup à Mlle Afef Sellami. Toute l'équipe du site tient à la remercier ici chaleureusement.